Métodos Numéricos — Guía 1

Ejercicio 1 de 9

1Cifras significativas

0/2

Exprese correctamente el siguiente resultado e indique la cantidad de dígitos significativos que tiene:

a = 1{,}58976413794 \qquad \Delta a = 0{,}3 \times 10^{-5}

1.a¿Cómo se expresa correctamente el valor de $a$ ?

\displaystyle a = 1{,}589764 \pm 0{,}000003

\displaystyle a = 1{,}5898 \pm 0{,}000003

\displaystyle a = 1{,}58976413794 \pm 0{,}000003

\displaystyle a = 1{,}58976 \pm 0{,}000003

Ver desarrollo

El error absoluto $\Delta a = 0{,}3\times 10^{-5} = 0{,}000003$ tiene su primera cifra significativa en el 6.º decimal. Esa posición marca la última cifra que se retiene en el valor de $a$ : se redondea ahí.

1{,}589764\,\big|\,13794 \;\longrightarrow\; 1{,}589764

El dígito siguiente es 1, así que no se redondea hacia arriba.

Es el mismo formato del Ejercicio 5 resuelto de la cátedra: con $\Delta y = 0{,}3\times 10^{-4}$ se escribe $y = -4{,}09407 \pm 0{,}00003$ , reteniendo el dígito del orden de la cota aunque ese último no sea del todo confiable.

1.b¿Cuántas cifras significativas correctas tiene el resultado?

Criterio de media unidad; el último dígito retenido es sólo «medianamente significativo».

Tu resultado

Ver desarrollo

Una cifra es correcta si $\Delta a$ no supera media unidad de su orden:

\begin{aligned} \text{5.º decimal:}\quad & \tfrac{1}{2}\times 10^{-5} = 0{,}000005 \;\ge\; \Delta a = 0{,}000003 && \checkmark \\[2pt] \text{6.º decimal:}\quad & \tfrac{1}{2}\times 10^{-6} = 0{,}0000005 \;<\; \Delta a = 0{,}000003 && \times \end{aligned}

Entonces hay 5 decimales significativos y uno medianamente significativo. Contando la parte entera:

\underbrace{1{,}58976}_{6\ \text{cifras correctas}}\,\underbrace{4}_{\text{med. signif.}}

Mismo razonamiento del Ejercicio 5 de la cátedra: allí $\Delta y = 0{,}3\times 10^{-4}$ da «4 decimales significativos y uno medianamente significativo», y aun así el resultado se escribe con 5 decimales.

Ejercicio 2 de 9

2Área de un círculo

0/4

Dado un círculo de diámetro $D$ , se toman varias mediciones con calibre $D_1, D_2, \dots, D_n$ , obteniéndose un diámetro muestral $D_m$ y una incertidumbre $\Delta D$ (error absoluto). El área es:

A = \frac{\pi D^2}{4}

a) Dar la expresión del error absoluto del área por sustitución directa. ¿Es simétrico el intervalo?
b) Dar la expresión aplicando teoría lineal de errores y comparar con a).
c) Agregar la incertidumbre de aproximar $\pi$ por 3,14 a la expresión de b).

2.aEvaluando $A$ en los valores extremos $D_m \pm \Delta D$ , la cota de error del área es:

\displaystyle \Delta A_+ = \frac{\pi}{4}\left(2D_m\Delta D + \Delta D^2\right) \;;\quad \Delta A_- = \frac{\pi}{4}\left(2D_m\Delta D - \Delta D^2\right)

\displaystyle \Delta A = \frac{\pi D_m}{2}\,\Delta D \quad \text{(igual para ambos lados)}

\displaystyle \Delta A = \pi D_m \Delta D

\displaystyle \Delta A = \frac{\pi}{4}\,\Delta D^2

Ver desarrollo

Se sustituye directamente $D = D_m \pm \Delta D$ en el área y se desarrolla el binomio:

A_m \pm \Delta A = \frac{\pi\left(D_m \pm \Delta D\right)^2}{4} = \frac{\pi\left(D_m^2 \pm 2D_m\Delta D + \Delta D^2\right)}{4}, \qquad A_m = \frac{\pi D_m^2}{4}

Restando $A_m$ queda la forma compacta que usa la cátedra, con el $\pm$ afectando sólo al término lineal:

\boxed{\;\Delta A = \pm\,\frac{\pi D_m \Delta D}{2} + \frac{\pi \Delta D^2}{4}\;}

Separando las dos ramas se ve la asimetría con más claridad:

\begin{aligned} \Delta A_+ &= \frac{\pi D_m \Delta D}{2} + \frac{\pi \Delta D^2}{4} = \frac{\pi}{4}\left(2D_m\Delta D + \Delta D^2\right) \\[4pt] \Delta A_- &= \frac{\pi D_m \Delta D}{2} - \frac{\pi \Delta D^2}{4} = \frac{\pi}{4}\left(2D_m\Delta D - \Delta D^2\right) \end{aligned}

2.a¿Es simétrico el intervalo obtenido?

Sí, es simétricoNo, es asimétrico (el error hacia arriba es mayor que hacia abajo)

Ver desarrollo

$\Delta A_+$ y $\Delta A_-$ difieren en el término $\Delta D^2$ (se suma en un caso, se resta en el otro), por lo tanto $\Delta A_+ > \Delta A_-$ : el intervalo real no es simétrico respecto de $A(D_m)$ .

2.bAplicando teoría lineal de errores, la cota del área es:

\displaystyle \Delta A = \frac{\pi D_m}{2}\,\Delta D

\displaystyle \Delta A = \pi D_m \Delta D

\displaystyle \Delta A = \frac{\pi}{4}\,\Delta D^2

\displaystyle \Delta A = \frac{\pi}{2}\,\Delta D

Ver desarrollo

La teoría lineal reemplaza la curva $A(D)$ por su recta tangente en el punto representativo $D = D_m$ , así que el error se propaga por la pendiente:

\Delta A \approx \Delta D \cdot \tan\theta = \Delta D \cdot \left.\frac{\partial A}{\partial D}\right|_{D=D_m} = \Delta D \cdot \left.\frac{\pi D}{2}\right|_{D=D_m} = \frac{\pi D_m}{2}\,\Delta D

Comparación con a): es exactamente el término lineal de a); se descarta el $\Delta D^2$ y cualquier término de orden superior. Por eso la teoría lineal siempre devuelve un intervalo simétrico, mientras que la sustitución directa conserva la asimetría real.

Ventaja: más simple y se generaliza a varias variables sumando derivadas parciales. Desventaja: es aproximada y pierde precisión cuando $\Delta D$ no es chico frente a $D_m$ ; el resultado de a) es la cota exacta aunque más laboriosa.

2.cAgregando la incertidumbre de aproximar $\pi$ por 3,14 (es decir $\pi = \pi_m \pm \Delta\pi$ , con $\pi_m = 3{,}14$ y $\Delta\pi = 0{,}005$ ), la expresión queda:

\displaystyle \Delta A = \frac{D^2}{4}\,\Delta\pi + \frac{\pi D}{2}\,\Delta D

\displaystyle \Delta A = \frac{\pi D}{2}\,\Delta D + \Delta\pi

\displaystyle \Delta A = \frac{D^2}{4}\,\Delta\pi

\displaystyle \Delta A = \frac{\pi}{4}\left(\Delta D + \Delta\pi\right)

Ver desarrollo

Ahora $\pi$ deja de ser una constante exacta y pasa a ser una variable más con error, así que $A = A(\pi, D)$ :

\Delta A \approx \left|\left.\frac{\partial A}{\partial D}\right|_{\substack{D=D_m \\ \pi=\pi_m}}\right|\Delta D + \left|\left.\frac{\partial A}{\partial \pi}\right|_{\substack{D=D_m \\ \pi=\pi_m}}\right|\Delta \pi = \left|\frac{\pi_m D_m}{2}\right|\Delta D + \left|\frac{D_m^2}{4}\right|\Delta\pi

Los módulos están para contemplar el peor caso posible: se suman los aportes en lugar de dejar que se resten entre sí.

El valor $\Delta\pi = 0{,}005$ sale de que 3,14 está correctamente redondeado: media unidad del último dígito retenido. Es una cota, más holgada que el desvío real $|\pi - 3{,}14| = 0{,}00159\dots$

Ejercicio 3 de 9

3Reglas de propagación

0/2

Mediante la teoría lineal de errores, demostrar que:

a) En una suma o resta de dos variables, los errores absolutos se suman.
b) En un producto o división de dos variables, los errores relativos se suman.

3.aPara $g = u \pm v$ , el error del resultado es:

\displaystyle \Delta g = \Delta u + \Delta v

\displaystyle \frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta v}{v}

\displaystyle \Delta g = \max(\Delta u, \Delta v)

\displaystyle \Delta g = \frac{\Delta u + \Delta v}{2}

Ver desarrollo

g = u \pm v \;\Rightarrow\; \frac{\partial g}{\partial u} = 1,\quad \frac{\partial g}{\partial v} = \pm 1

\Delta g = \left|\frac{\partial g}{\partial u}\right|\Delta u + \left|\frac{\partial g}{\partial v}\right|\Delta v = \Delta u + \Delta v

Los errores absolutos se suman siempre, sea suma o resta: las derivadas entran en valor absoluto y el peor caso es que los errores se acumulen.

3.bPara $g = u\,v$ (o $g = u/v$ ), el error del resultado es:

\displaystyle \Delta g = \Delta u + \Delta v

\displaystyle \frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta v}{v}

\displaystyle \frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta u}{u}\cdot\frac{\Delta v}{v}

\displaystyle \frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta u}{u}

Ver desarrollo

Para $g = uv$ se tiene $\partial g/\partial u = v$ y $\partial g/\partial v = u$ , entonces:

\Delta g = |v|\,\Delta u + |u|\,\Delta v \;\Longrightarrow\; \frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta v}{v}

Equivale a derivar $\ln g = \ln u \pm \ln v$ . En un producto o cociente se suman los errores relativos.

Ejercicio 4 de 9

4Cálculo con cotas de error

0/4

Calcular las siguientes expresiones, incluyendo sus cotas de error absoluto, donde $x = 2{,}00$ , $y = 3{,}00$ y $z = 4{,}00$ (valores correctamente redondeados, por lo que $\Delta x = \Delta y = \Delta z = 0{,}005$ ):

\textbf{a)}\quad 3x + y - z \qquad\qquad \textbf{b)}\quad x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{40}\right)

4.aValor de $3x + y - z$

Tu resultado

4.aCota de error absoluto $\Delta(3x + y - z)$

Tu resultado

Ver desarrollo

\begin{aligned} 3x+y-z &= 3(2{,}00)+3{,}00-4{,}00 = 5{,}00 \\[4pt] \Delta(3x+y-z) &= 3\Delta x + \Delta y + \Delta z = 3(0{,}005)+0{,}005+0{,}005 = 0{,}025 \end{aligned}

Resultado: $5{,}00 \pm 0{,}03$ , con la cota redondeada hacia arriba a una cifra significativa.

4.bValor de $x\,\operatorname{sen}(y/40)$

El argumento va en radianes.

Tu resultado

4.bCota de error absoluto $\Delta\!\left[x\,\operatorname{sen}(y/40)\right]$

Tu resultado

Ver desarrollo

\frac{y}{40} = 0{,}075\ \text{rad} \;\Rightarrow\; \operatorname{sen}(0{,}075) = 0{,}074930,\quad \cos(0{,}075) = 0{,}997189

g = x\,\operatorname{sen}(y/40) = 2{,}00 \times 0{,}074930 = 0{,}149859

\begin{aligned} \frac{\partial g}{\partial x} &= \operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{40}\right) = 0{,}074930 \\[4pt] \frac{\partial g}{\partial y} &= \frac{x}{40}\cos\!\left(\frac{y}{40}\right) = 0{,}049859 \\[6pt] \Delta g &= 0{,}074930\,(0{,}005) + 0{,}049859\,(0{,}005) \approx 0{,}00062 \end{aligned}

Resultado: $0{,}1499 \pm 0{,}0006$ .

Ejercicio 5 de 9

5Incidencia relativa del error

0/3

Calcular la siguiente expresión, incluyendo su cota de error absoluto, e indicar qué variable tiene mayor incidencia en el error de $w$ :

w = \frac{x\,y^2}{z}

$x = 2{,}0 \pm 0{,}1$
$y = 3{,}0 \pm 0{,}2$
$z = 1{,}0 \pm 0{,}1$

5Valor de $w$

Tu resultado

5Cota de error absoluto $\Delta w$

Tu resultado

Ver desarrollo

Producto y cociente: conviene trabajar con errores relativos, recordando que $y^2$ aporta el doble.

w = \frac{(2{,}0)(3{,}0)^2}{1{,}0} = 18{,}0

\frac{\Delta w}{w} = \frac{\Delta x}{x} + 2\,\frac{\Delta y}{y} + \frac{\Delta z}{z} = 0{,}05 + 2(0{,}0667) + 0{,}10 = 0{,}283

\Delta w = 18{,}0 \times 0{,}283 \approx 5{,}1

Resultado: $w = 18 \pm 5$ .

5¿Qué variable tiene mayor incidencia en el error de $w$ ?

\displaystyle x

\displaystyle y

\displaystyle z

Las tres inciden por igual

Ver desarrollo

Contribución absoluta de cada variable a $\Delta w$ :

\begin{aligned} x &\rightarrow \left|\frac{y^2}{z}\right|\Delta x = 9{,}0 \times 0{,}1 = 0{,}9 \\[3pt] y &\rightarrow \left|\frac{2xy}{z}\right|\Delta y = 12{,}0 \times 0{,}2 = 2{,}4 \quad \leftarrow \text{mayor aporte} \\[3pt] z &\rightarrow \left|\frac{xy^2}{z^2}\right|\Delta z = 18{,}0 \times 0{,}1 = 1{,}8 \end{aligned}

$y$ es la variable con mayor incidencia: además de tener el mayor error relativo, aparece elevada al cuadrado, lo que duplica su peso.

Ejercicio 6 de 9

6Cancelación catastrófica

0/1

Se tienen las siguientes expresiones algebraicamente equivalentes:

\begin{array}{lll} \text{i)}\ \ f = \left(\sqrt{2}-1\right)^6 & \text{ii)}\ \ f = \dfrac{1}{\left(\sqrt{2}+1\right)^6} & \text{iii)}\ \ f = \left(3-2\sqrt{2}\right)^3 \\[10pt] \text{iv)}\ \ f = \dfrac{1}{\left(3+2\sqrt{2}\right)^3} & \text{v)}\ \ f = 99-70\sqrt{2} & \text{vi)}\ \ f = \dfrac{1}{99+70\sqrt{2}} \end{array}

a) Demostrar que son algebraicamente equivalentes.
b) Usando el valor aproximado 1,4 para $\sqrt{2}$ , indicar qué alternativa da el mejor resultado.

a) Partiendo de

\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right) = 1

, se reescribe cada forma multiplicando numerador y denominador por el conjugado. Las seis representan el mismo número real

\approx 0{,}00505063

.

6.bUsando $\sqrt{2} \approx 1{,}4$ , ¿qué alternativa da el resultado más preciso?

\displaystyle \text{i)}\quad f = \left(\sqrt{2}-1\right)^6

\displaystyle \text{v)}\quad f = 99-70\sqrt{2}

\displaystyle \text{iv)}\quad f = \dfrac{1}{\left(3+2\sqrt{2}\right)^3}

\displaystyle \text{vi)}\quad f = \dfrac{1}{99+70\sqrt{2}}

Ver desarrollo

Valor exacto: $f \approx 0{,}00505063$ . Con $\sqrt{2}\approx 1{,}4$ (error de redondeo $\approx 0{,}0142$ en la raíz):

Expresión	Resultado	Error relativo
v) $99-70(1{,}4) = 1$	1,00000000	19699 %
iii) $(3-2\cdot 1{,}4)^3 = 0{,}2^3$	0,00800000	58,4 %
i) $(1{,}4-1)^6 = 0{,}4^6$	0,00409600	18,9 %
ii) $1/(1{,}4+1)^6$	0,00523278	3,61 %
iv) $1/(3+2\cdot 1{,}4)^3$	0,00512526	1,48 %
vi) $1/(99+70\cdot 1{,}4)$	0,00507614	0,51 %

Las formas con resta de números grandes y casi iguales (v, y las equivalentes i y iii) sufren cancelación catastrófica: se pierden las cifras significativas y el error de redondear $\sqrt{2}$ se amplifica brutalmente. Las que tienen suma en el denominador evitan esa resta, y la mejor es vi).

Ejercicio 7 de 9

7Error propagado en una integral tabulada

0/2

Se dispone de un algoritmo para computar la siguiente integral:

I(a,b) = \int_0^1 \frac{e^{-bx}}{a+x^2}\,dx

Utilizando dicho algoritmo se obtuvo la siguiente tabla de resultados:

$a$	$b$	$I$
0,39	0,34	1,425032
0,40	0,32	1,408845
0,40	0,34	1,398464
0,40	0,36	1,388198
0,41	0,34	1,372950

Luego se midieron las cantidades físicas $z$ e $y$ , obteniéndose $z = 0{,}400 \pm 0{,}003$ (en el rol de $a$ ) e $y = 0{,}340 \pm 0{,}005$ (en el rol de $b$ ). Estimar el error en $I(z,y)$ y expresar el resultado final.

7Valor de $I(z,y)$

Tu resultado

7Cota de error absoluto $\Delta I$

Tu resultado

Ver desarrollo

No hay fórmula cerrada, así que las derivadas parciales se estiman por diferencias finitas centradas con los puntos de la tabla que rodean a (0,40 ; 0,34):

\begin{aligned} \frac{\partial I}{\partial a} &\approx \frac{I(0{,}41;0{,}34) - I(0{,}39;0{,}34)}{0{,}02} = \frac{1{,}372950 - 1{,}425032}{0{,}02} \approx -2{,}604 \\[6pt] \frac{\partial I}{\partial b} &\approx \frac{I(0{,}40;0{,}36) - I(0{,}40;0{,}32)}{0{,}04} = \frac{1{,}388198 - 1{,}408845}{0{,}04} \approx -0{,}516 \end{aligned}

\Delta I = \left|\frac{\partial I}{\partial a}\right|\Delta z + \left|\frac{\partial I}{\partial b}\right|\Delta y = 2{,}604\,(0{,}003) + 0{,}516\,(0{,}005) \approx 0{,}0104

Resultado: $I(z,y) = 1{,}398 \pm 0{,}010$ .

Ejercicio 8 de 9

8Tensión de rotura de una probeta

0/3

La tensión de rotura a compresión de una probeta de hormigón se determina con:

f = \frac{4F}{\pi D^2}

siendo $F$ la fuerza que aplica la máquina y $D$ el diámetro de la probeta:

$F = 0{,}715\ \text{MN}$ , con error absoluto máximo $\Delta F = 0{,}003\ \text{MN}$
$D = 0{,}15\ \text{m}$ , con error relativo porcentual del 2,5 %
$\pi = 3{,}1416 \pm 0{,}00005$

a) Calcular la tensión de rotura con su error absoluto, y expresarla con sus unidades.
b) Calcular el error relativo porcentual de la tensión de rotura.

8.aValor de $f$

Tu resultado

MPa = MN/m²

8.aCota de error absoluto $\Delta f$

Tu resultado

MPa

Ver desarrollo

f = \frac{4F}{\pi D^2} = \frac{4(0{,}715)}{3{,}1416 \times 0{,}15^2} = \frac{2{,}86}{0{,}070686} \approx 40{,}46\ \text{MPa}

\begin{aligned} \frac{\Delta f}{f} &= \frac{\Delta F}{F} + \frac{\Delta \pi}{\pi} + 2\,\frac{\Delta D}{D} \\[4pt] &= \frac{0{,}003}{0{,}715} + \frac{0{,}00005}{3{,}1416} + 2(0{,}025) \\[4pt] &= 0{,}0042 + 0{,}00002 + 0{,}05 = 0{,}0542 \end{aligned}

\Delta f = 40{,}46 \times 0{,}0542 \approx 2{,}19\ \text{MPa}

Resultado: $f = (40{,}46 \pm 2{,}19)\ \text{MPa}$ , que expresado correctamente (cota a una cifra significativa y valor llevado a ese orden) queda $f = (40 \pm 2)\ \text{MPa}$ .

El término dominante es $2\,\Delta D/D$ : el error del diámetro pesa el doble por estar al cuadrado, y se lleva casi todo el error final.

8.bError relativo porcentual de $f$

Tu resultado

%

Ejercicio 9 de 9

★Logaritmo mal condicionado

0/5

Ejercicio extra de la cátedra. Se tiene la expresión:

y = \ln\left(x - \sqrt{x^2-1}\right)

a) Calcular $y$ para $x = 30$ , incluyendo su error absoluto. Suponer que la raíz cuadrada se conoce con 6 decimales correctos y que el error en $x$ es despreciable.
b) Obtener una expresión matemáticamente equivalente, pero mejor condicionada desde el punto de vista numérico, y recalcular el resultado con el nuevo error.

$x = 30$ , con $\Delta x = 0$
$r = \sqrt{x^2-1} = \sqrt{899} = 29{,}9833287\dots$ , con $\Delta r = 0{,}5\times 10^{-6}$

5.aValor de $y$

Tu resultado

5.aCota de error absoluto $\Delta y$

Podés escribir 0,00003 o 3e-5.

Tu resultado

Ver desarrollo

El error en $x$ es nulo, así que todo el error entra por la raíz:

\Delta y = \left|\frac{\partial y}{\partial x}\right|\Delta x + \left|\frac{\partial y}{\partial r}\right|\Delta r = 0 + \left|\frac{-1}{x-r}\right| \cdot 0{,}5\times 10^{-6}

\Delta y = \frac{0{,}5\times 10^{-6}}{30 - 29{,}9833287} = \frac{0{,}5\times 10^{-6}}{0{,}0166713} = 0{,}000029992 \approx 0{,}3\times 10^{-4}

y = \ln\left(0{,}0166713\right) = -4{,}09406667\dots \;\Longrightarrow\; \boxed{y = -4{,}09407 \pm 0{,}00003}

Logramos 4 decimales significativos y uno medianamente significativo. La resta de magnitudes similares produjo cancelación de términos: al dividir por un número chico, el factor de amplificación del error se vuelve crítico.

5.b¿Cuál es la expresión equivalente mejor condicionada?

\displaystyle y = -\ln\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)

\displaystyle y = \ln\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)

\displaystyle y = \ln\left(\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}\right)

\displaystyle y = \ln(x) - \ln\left(\sqrt{x^2-1}\right)

Ver desarrollo

Se racionaliza multiplicando y dividiendo por el conjugado, que es la misma maniobra del Problema 6:

x - \sqrt{x^2-1} = \frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}{x+\sqrt{x^2-1}} = \frac{x^2 - (x^2-1)}{x+\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}

y = \ln\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\right) = -\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)

La resta desapareció: ahora el denominador es una suma de dos números grandes, que no pierde cifras significativas.

5.bNueva cota de error absoluto $\Delta y$

Podés escribir 8,3e-9.

Tu resultado

Ver desarrollo

\Delta y = \left|\frac{\partial y}{\partial r}\right|\Delta r = \frac{0{,}5\times 10^{-6}}{x + r} = \frac{0{,}5\times 10^{-6}}{59{,}9833287} = 8{,}34\times 10^{-9}

y = -\ln\left(59{,}9833287\right) = -4{,}0940667 \pm 0{,}0000001

Ahora hay 7 decimales correctos, contra 4 de la forma original: el mismo número, calculado de otra manera, gana tres cifras significativas.

5.b¿Por qué factor se redujo la cota de error entre a) y b)?

Es el cociente entre ambos factores de amplificación.

Tu resultado

Ver desarrollo

\frac{\Delta y_{(a)}}{\Delta y_{(b)}} = \frac{1/(x-r)}{1/(x+r)} = \frac{x+r}{x-r} = \frac{59{,}9833287}{0{,}0166713} \approx 3598

El error se redujo unas 3600 veces sin cambiar el valor calculado: las dos expresiones son matemáticamente idénticas, pero numéricamente no valen lo mismo. Esa es toda la idea de condicionamiento.